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有效前沿的分析推导及Markowitz判准的非对称性1

 

 

1、问题的提出:

现代财务理论是从Markowitz为资产组合理论开始的。Markowitz19521959)运用两个简单的量来描述市场上资产的收益与风险,这两个量就是随机变量的一阶矩与两阶距,期望值与方差,并由此给出资产组合投资的两个判准,这就是:

A:在给定的期望收益率下,寻找最小方差的资产组合;

B:在给定的方差下,寻找最大期望收益的资产组合。

这两个判准只能在一定的条件下起作用,因此所需的假设条件的最基本点就是投资决策是单周期的;投资者是风险回避型的、理性的;所有投资者对资产收益有一致的期望。这样,满足判准A的资产组合形成了前沿资产的组合集合(简称前沿集合),在前沿集合中满足判准B的资产组合形成了有效前沿集合(简称有效集合)。这样Markowitz的判准就给出了投资者决策的一个可行集合,但投资者的最优选择却只能依赖他的效用函数的风险偏好来决定。

所以建筑在Markowitz两个判准基础上的资产组合理论(Portfolio Theory)在严格意义上是到有效集合为新的理论,投资者的效用风险结构则是从Von NewmannMogenstein1944)的理论中引入的一类风险结构。为此,本文所指的资产组合理论即是这种严格意义下的理论。

Merton1992)将上述两个判准用两个数学规划来描述:

AminωT Vω BmaxωT E (R)

s.t :ωT E(R)= E(Rp) s.t :ωT Vω=

ωT·1=1 ωT·1=1

这里,假定有N2种风险资产,它们的期望收益中由(N×1)向量ER)表示,而N种风险资产收益率为方差与协方差由(N×N)矩阵V表示,同时为计算方便,假定V是对称的,正定的矩阵。以上两个量在市场上是可观察的,因此是已知的,我们把它们,以及由它们所衍生的已知量通称为市场条件。投资在N个资产上的投资份额用(N×1)向量ω表示,所以某一个资产组合的期望收益率与方差就写为ωTER)与ωTVω。另外(N×1)向量1T=11,……,1),即分量全为1的向量。本文所有向量与矩阵的字母用黑体表示。

Merton的推导,实际上是用Lagrande方法求解ω。他求解了规划A,确定出了前沿集合的构造,并直接引用判准B的确定了有效前沿集合。他的主要结论是:(a)判准A决定的前沿集合在σ�ER)平面上是双曲线的右半部,(b)在判准B的限制下有效集合是双曲线的右上半支,(c)存在无风险资产Rf时,有效集合退化为半直线,(d)这两个判准在确定有效集合时是缺一不可。

Merton的结果从逻辑上确立了Markowitz两个判准的地位,并将资产组合理论的规范研究引向了深入,AB这两个规划成为这个理论的出发点,并为实证研究提供了可靠的数学模型。

但是可以提出这样的问题,首先是这两个判准是否对称,即如果先求解B,再引用判准A,会不会有相同的结果,如果相同,那么在决定有效集合上,判准AB具有同等的,对称的地位。其次是如果判准AB不对称,那么哪个更重要一些,或者是否有包含的情况。再则,这两个判准会不会等价,在什么条件下等价。最后,Markowitz判准或者资产组合理论还应有那些更深入的意义。

本文将通过直接推导规划B的方法,试图对上述问题进行研究,并得出一些有意义的结果。

2、规划B的求解

为给定的参数,则规划B的拉氏函数为:

L=ωTER+λ( ωT V ω+μ(1ωT 1

这里的λ与μ为拉氏乘子,L的一阶必要条件可表达为:

为计算方便,设置下述参数及参数向量:

A=1T V1 ER=ETRV11

B= ETRV1ER

C=1T V1

D=BCA2

这些参数与向量都是由市场已知条件产生,所以它们也属于市场条件。并且直接计算可验证它们有如下性质:

B0

C0

D0

由一阶条件(1)、(2)、(3)三个式子,可以得到如下三个方程:

先考虑(6)、(7)两个方程,关于λ与μ作为未知量有解的充要条件是:

并求出λ、μ的相应表达式为:

代入(5)式后,求得规划B关于的ω解:

这即是满足规划B要求的资产组合的权数,这样的资产组合的期望收益率可计算为:

即:

由(12)式可知,这样的资产组合在σpERp)平面上是双曲线,其方程为:

但由(8)与(13)可知,满足规划B的双曲线是右面上半支,即为有效投资组合的集合。



(有效集合在σpER p)平面上的表示)

结:

1)由拉氏函数方法,对规划B求解,可直接求得有效资产组合的基本结构,即方程(11),并由此决定了有效集合在σpER p)平面上是双曲线的右上半支。因此,在决定有效集合上,规划B比规划A完备,或者包含了A的结论。

2)在推导中,提出满足Markowitz判准的资产组合是两个重要向量HG的组合,而HG关于矩阵V是正交的(4)式。利用本文的推导,我们

可构造出满足Merton规划A的资产组合的结构: 。因此,

这一对正交向量在决定两个规划解的形式中有重要的意义。

3、有效集合与零β资本资产定价模型(Zero-beta CAPM

这里,我们将进一步指出由规划B所决定的有效集合与零β资本资产定价换型有内在的联系。这个内在联系实际上显露了Markowitz判准本身隐含着一个资产组合的线性定价关系。为说明这个关系,先给出下述的一个结论。

如果s是任何一个资产组合,它可以是有效的,也可以是非有效的,那么一定存在一对资产组合pq,其中至少有一个是有效资产组合,并使得资产组合s的期望收益可以表示为pq期望收益的线性关系。

为了说明这个结论,不妨首先在有效集合中任选一个p。因此,它的期望收益与方差,应满足(12)式。同时,构造一个资产组合q,使它的权数为:

 

显然可知, ,下面计算两个数量:

a)计算资产组合q的期望收益:

这时,由(12)式可知:

 

 

 

所以:

b)计算资产组合ps的收益之间协方差

 

由(16)与(17)式可知:

 

 

 

令:

就有:

由(19)式说明,对任一资产组合s,不管它本身具有什么特征,它的期望收益却可表示成一对资产组合期望收益ERp)-ERq)的线性组合,而特别这个线性组合的系数是与这个组合s与某一个组合的协方差成比例。

最后,只要指出,在市场均衡时,市场组合一定是有效的资产组合,那么只要此时选择市场组合,M代替原来在有效集合中选择的p,那么就可得到:

这即是我们所熟悉的(零β资本资产定价换型)ZerobetaCAPM。它表示了任何一个资产组合的期望收益都是市场组合期望收益的线性函数,或者它的超额收益与它的市场收益的协方差成比例。

4、结论与讨论:

1)在上述讨论中已经指出,由规划B可以单独推导出有效集合,而规划A则只能推导出前沿集合。这说明这两个判准并不对称,规划B或判准BA更重要,就在决定有效集合上看,判准A是被包含在判准B中,因而在逻辑上是多余的。

这两个判准的非对称是因为实际上它们隐含了不同的条件,在规划A求解中,给定的ERp)理论上与实际上的取值范围都在整个实轴上;而规划B的求解中则内生地产生约束条件(8)式,因此形成了两个规划在解集上的差异。

2)由零β资本资产定价模型的推导,可以看到资产组合理论包含了一个资本市场线性价格关系,或者在Markowitz的判准B中包含了这个关系,因此资本资产定价换型(CAPM)是这个判准的很自然的结论,或者资本资产定价模型的所有前提条件都在资产组合理论之中了。

3)关于这两个判准的等价性以及由它们导出的两个规则的等价性已有不少人在从事研究,其最新的结果是KornR1999)。他指出在给定某些条件下规则AB是等价的,由于没有看到原文,所以无法直接评价。但对比本文与Merton1972)的推导,实际上在规划A Merton的推导中外生地加入约束条约 ,那么,这两个规划就有相同的解集,当然也就等价了。

4)本文的讨论没有考虑无风险资产的存在,如果引入无风险资产Rf,那么所有的结论依然成立,包括(20)式中ERq)转换为Rf的结论,即CAPM

 

 

 

 

参考文献

1Markowife.H.M: “Portrfolio Selection”, Journal of Finance. (March 1952)7, PP7791

2Markowife.H.M: “Portrfolio Selection, Efficint diversification of Investment,” New York, 1959.

3Merton.R: “An Aualytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier,” Journal of Financial and Quantitative Analysis. (1972, September, PP1851872).

4Korn. R and Korn. E: “Optionsbewertung and PortfolioOptimiering,” Wiewey, Gabler, Wiesbaden, 1999.

 


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