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衍生产品定价的三个基本原理

 

资本市场中的定价是建立在市场均衡为基础上,在金融工程的研究中则把均衡市场的定价更具体的体现在非套利的条件。非套利条件比市场均衡的要求更容易理解,而且它是完全市场假设的直接结论,是资本市场均衡的必要条件,进而利用非套利条件就可推导出均衡的资产价格。

金融工程的定价原理经过Black, Scholes, Merton, Cox, Ross等人的发展,以非套利条件为基础,建立了三个基本的定价原理,即无风险套期保值原理(Risirolos-Hedging Principle);风险中性定价原理(Risk-Neutrality-Principle)与动态自筹原理(Dynamic Self-Financing)。

1:无风险套期保值原理(Riskless hedging Principle

套期保值采略是资本市场中的一个传统的策略,在Black-Scholes1973)那里,把这个套期保值策略发展成一个动态的无风险套期保值原理。这个原理指出:

在一个不存在套利机会有有效市场中,任何有空市场风险的资产组合,它的期望收益率于无风险利率。即投资者可以建立起一个无风险套期保值的资产组合,只要在这个资产组合中持续地高速基础证券与衍生证券的投资比例,那么或者基础证券保护衍生证券,或者衍生证券保护基础证券,以对搞任何的亏损可能,从而消除全部的市场风险。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率,基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均衡条件。

作为例子,这里叙述如何应用套期保值原理推导欧式Call价格的偏微分方程。假定基础资产是一个股票S,一个Call Option的价格为C。假定S满足几何Brocon运动,而Cs. t)是随机变量,因而满足Ito引理,因此我们有以下两个方程:

1

2

其中,ρ、γ分别为股票的期望收益率与波动性,ρ、γ是常数,dz是标准的Wiener过程。现在构造一个资产组合Π,它由如下组成:

ι个单位 Call的空头部位

Δ个单位 股票的多头部位

显然这个资产组合是一个套期保值组合,而且这个资产组合的价值Π为:

Π=C+Δ·S 3

而这个资产组合价值上的微小变动,我们假定它完全是由两个价格的微小变动所产生:

dΠ=dC+Δ·ds 4

这样由方程(1)、(2)可知:

5

我们注意到(5)式中的第一项是一个确定型的变量,而第二项是这个资产组合的随机项,即这个资产组合价值微小变动量的风险项。如果选择,方程从数学上简化为

6

并且我们引出了两个结论:

  • 这个资产组合是无风险的,因为它的价值仅满足一个确定型的微分方程。
  • 在非套利条件下,这个资产组合只能获得无风险收益率的收益,因为如果它获得高于无风险收益率的收益,那么套利者可以无风险率利率借款,尽可能多的购买这个资产组合,从而实现套利。所以成立下式:

7

这样,由(4)、(6)、(7)三式可知:

最后,经整理我们得到了熟识的Black-Scholes的偏微分方程:

8

2:风险中性原理

2.1.基本概念

风险中性定理表达了资本市场中的这样的一个结论:即在市场不存在任何套利可能性的条件下,如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券,那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量,尤其是期望收益率。

风险中性价原理是Cox. Ross1976)推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原理与投资者的风险制度无关,从而推广到对任何衍生证券都适用,所以在以后的衍生证券的定价推导中,都接受了这样的前提条件,就是所有投资者都是风险中性的,或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格,并且这个价格的决定,又是适用于任何一种风险志度的投资者。

关于这个原理,有着一些不同的解释,从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。首先,在风险中性的经济环境中,投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬,所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率;其次,正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬,市场的贴理率也恰好等于无风险利率,所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值;最后,利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅(Martingle)。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法(Martingale Pricing Technique)。

为了更清晰的了解风险中性定价原理和上述解释的意义,这里回到Black-Scholes公式的推导,当然这个推导是Cox. Ross1976)的工作。

假定基础证券为股票,衍生证券为股票期权,它们的价格分别为SC,作为两个随机变量,同时遵循下述随机动态方程:

9

10

这里 表示期权的期望收益率以及它的方差。而且CS.t)是st的函数,同样由I+O引理可知:

11

比较(10)与(11)式,我们得到:

12

13

改写(12)式,可知:

14

注意这个(14)式,它和Black-Scholes推导的微偏分方程非常相似,但它却包含了两个参数。为了求解方程(14),或者设法先解出,或者设法使==回归到方程(8)的形式。

为此,重新使用一下无风险套期保值的方法,即同样构造一个资产组合π,它如下组成:

s个单位 Call的空头部位

c·c个单位 股票的多头部位

这个资产组合π的价值为:

π=·c·s·s·c=sc 15

同样,这个资产组合价值上的微小变动,都是由瞬间的价格变动所引起的,因此:

dπ=·cs·dt 16

现在在dπ中,所有的随机微分项都消除了,所以π是特征为无风险,在非套利条件下,它必定获取的是无风险收益率,或无风险利率,我们有:

dπ=πdt 17

=

18

方程(18)具有很清晰的意义,我们把看成是期权以及它的基础证券(股票)的超额收益,在除以各自的方差(即波动性)之后恰好为单位风险的市场价格。因为在无风险套期保值的资产组合π中,期权及股票都是市场上可交易的证券,所以它们为单位风险的价格应当是相等的。

最后,我们将(18)改写为:

19

这样,把(12)与(13)代入(19)式,又回到了我们所熟悉为Black-Scholes的偏微分方程:

20

如果我们现在对照(14)与(20),这个推导过程就如同我们在方程(14)直接令==。寻样,但我们不能这样做,因为==只是风险中性定价原理的结果,或者说是风险中性定价原理的解释。

风险中性定价原理在数学上可以表示为:

21

22

这里STCT都是随机变量,分别表示到期日的股票价格与期权价格,因为到期日Call的收益为CT=maxSTXO),所以方程(22)可写为:

23

在方程(21)与(23)中,E是同一个期望算符。这是关于经过风险中性调整的概率分布的期望值,而且这个调不整的概率分布是对数正整的,它的漂移率刚好也是无风险利率。所以(23)也指出了,Call的价值等于风险中性条件下到期收益的贴现期望值,贴现率也刚好是无风险利率。

这样通过类似于CoxRoss的推导,完全的给出了风险中性定价原理的解释。

2.2.风险中性是价原理的推广(Genaral-Risk-Neutrality Principle

风险中性定价原理中有一个重要的假设,那就是衍生证券与基础证券都是可交易证券。一旦这两者之一(一般是基础证券)是不可交易证券,这时某些风险无法回避,因为无法进行现货基础资产与衍生证券之间的套利组合,使得衍生证券难以定价。这导致风险中性定价原理的适用性产生问题,因为方程(18)的成立E是依赖于这一假设。因而也就无法断定投资者的风险志度是否地衍生证券的价格产生影响。所以,在这里将把风险中性定价原理推广到更为一般的情况中去,而当基础证券不是可交易证券的情况(Hull. 1997)。

现在假定S不是可交易证券的价格,C仅由s. t决定的期权价格,仍然假定SC都遵循随机动态方程(9)与(10)。这样方程(13)、(14)依赖成立。

13

14

同时方程(18)在形式上也是成立的,我们令(18)的右端寻于λ,那么

24

注意到这里的λ只与s.t有关,而与C是无关的。我们继续称λ为风险的市场价格。

同时有:

=λ 25

现在将(14)与(25)代入(13)式,可以得到:

26

此时令q=-(-λ),那么(26)变为:

27

方程(27)恰好是带有仁利收益q的期权的定价方程,因此,方程(27)不仅存在解,而且这个解也同样与投资者的风险态度无关的。

这样,即使基础证券不是可交易证券,风险中性定价原理仍然是适用的,但需要作一个变动,这个变动,不仅体现定价方程(27)成为有红利利率q的期权定价方程,而且实际上我们是把方程(9)中的漂移率减少了λ,变为-λ,这样λz的造就了一个风险中性环境。方程(10)中的漂移率也变为-λ,这时新的漂移率恰为无风险利率:

-λ=-λ与基础证券收益率设定于无风险利率从推导的结果上看是等价的。

3:动态自等资原理(Dynamic Self-Financing

Merton1973)在推导Black-Scholes的期权定价公式时发展了一个动态自筹资原理。这个原理起源于一个这样的资产组合,它没有初始的投资,也没有中间过程资金的注入和抽出,这个组合中一个证券所增加的单位费用,完全来自于出售这个组合中其他证券的单位收益。而且这个资产组合是动态的,因为它的内部组合比例以及各种证券的价格都随时间在变化。这个资产组合称为自筹资产组合。

同样,为了说明自筹资原理的应和,我们仍然回到Black-Scholes的期权定价方式上去。假定有一个自筹资资产组合M,它包括了基础证券(股票)、衍生证券(期权)和无风险债券。设QsQc表示在这个组合中股票与期权的单位个数,令M s(t)Mc(t)为相应于QsQc的货币量,B(t)为无风险债券的价值,那么在时刻t净投资为零的条件可以表示为:

M(t)=Ms(t)+Mc(t)+B(t)=Qs(t) ·s+Qc(t) ·c+B(t)=0 29

这里M(t)是这个资产组合的价值。现在假定股票价格s、期权价格c满足方程(9)、(10),因此,由Ito定理,它们也应当满足方程(12)、(13)。并且由于B(t)是无风险债券,它的收益率等于无风险利率,所以我们有:

12

13

dB(t)=B(t)dt 30

Merton1969)就需指出,满足(29)式的资产组合也可以称为套利资产组合,这个套利资产组合的瞬间货币收益dM(t)应当等于下式:

31

将方程(9)、(10)代入(31),同时由(29)式知B(t)=MsMc也代入(31),可以得到:

dM(t)=[()Ms+()Mc]dt+[Ms+Mc]dz 32

我们在M资产组合中,选择股票与期权的适当比例,使得:

33

现在可以得出两个结果:

  • 由于持续的调整股票与期权的比例,因此(32)式右端的第二项为零。因此自筹资资产组合也是一个动态的无风险资产组合。如果它有收益的话,那么是确定性的,而非随机型的。
  • 因为这是无风险的,并且是自筹资的,它没有任何的资金流入与流出,也没有任何净投资,所以非随机收益dM(t)一定义为零。

dM(t)=[()Ms+()Mc]dt=0 34

将(33)代入(34)得:

最后得要的解释动态替代的概念,它是自筹资产资组合的一个变化,或者是(33)式所造择此例的特殊情况。假定我们选择Qc=-1,那么由(33)式与(29)式可知:

c=Qs·s+B(t) 36

37

方程(36)指出了,期权掊位完全可以由在动态自筹资资产组合中的股票与债券代替。这只要根据(37)当固定了Qc=-1后,连续的调整,而这种调整是建立在自筹资基础上的。那么根据非套条件,这个股票与债券资产组合的初始成本应寻于所替代的期权价值。所以这个自筹资资产组合的替代价值就是期权价格。

*本文系国家留学基金(CSC)资助项目“资本市场理论与金融工程”的部分工作(编号97318018)。


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